Forum aux Questions pour les élèves et étudiants

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Démonstration de la Formule du Binôme de Newton

Pour tous a, b ∈ A, et tout entier n ∈ IN*,

$(a+b)^{n} = \sum_{p=0}^{n}C^{p}_{n}a^{n-p} b^{p}$

(1) Pour n = 1, nous avons $(a+b)^{1}= \sum_{p=0}^1 C ^{p} _n a^{n-p} b^{p}=C ^{0} _1a^{1-0} b^{0}+C ^{1} _1a^{1-1} b^{1}=a+b$

La formule du binôme est vraie pour n = 1

(2) Supposons que pour tout n ≥ 1 $(a+b)^{n}= \sum_{p=1}^n C ^{p} _n a^{n-p} b^{p}$

(3) Montrons alors que $(a+b)^{n+1} = \sum_{p=0}^{n+1} C ^{p} _{n+1}a^{(n+1-p)} b^{p}$

On a

(4) $(a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b)$

(5) $=( \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{n-p} b^{p})(a+b)$

(6) $=( \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{n-p} b^{p})a+( \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{n-p} b^{p})b$

(7) $= \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}+ \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{n-p} b^{p+1}$

(8) Si l’on pose q=p+1 (⇒p=q-1), si p=0 alors q=1 et si p=n alors q=n+1

(9) D’où $(a+b)^{n+1} = \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}+ \sum_{q=1}^{n+1} C ^{q-1} _{n} a^{(n+1-q)} b^{q}$ puisque q est muet, on peut le remplacer par p

(10) $= \sum_{p=0}^{n} C ^{p} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}+ \sum_{p=1}^{n+1} C ^{p-1} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}$

(11) $= C ^{0} _{n} a^{(n+1)} b^{0}+\sum_{p=1}^{n} C ^{p} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}+\sum_{p=1}^{n} C ^{p-1} _{n} a^{(n+1-p)} b^{p}+C ^{n} _{n} a^{0} b^{n+1}$

(12) $= C ^{0} _{n} a^{(n+1)} b^{0}+\sum_{p=1}^{n} (C ^{p} _{n} +C ^{p-1} _{n})a^{(n+1-p)} b^{p}+C ^{n} _{n} a^{0} b^{n+1}$

(13) Or d’après les propriétés de la combinaison de n objets p à p on a $C ^{0} _{n}=C ^{0} _{n+1}$ , $C ^{n} _{n}=C ^{n+1} _{n+1}$ et $C ^{p} _{n}+C ^{p-1} _{n}=C ^{p} _{n+1}$ . (en remplaçant n par n+1 dans $C ^{p} _{n-1}+C ^{p-1} _{n-1}=C ^{p} _{n}$ )

(14) D’où $(a+b)^{n+1} = C ^{0} _{n+1} a^{n+1} b^{0}+\sum_{p=1}^{n}C ^{p} _{n+1}a^{n+1-p} b^{p}+C ^{n+1} _{n+1} a^{0} b^{n+1}$

(15) $= \sum_{p=0}^{0}C ^{p} _{n+1}a^{n+1-p} b^{p}+\sum_{p=1}^{n}C ^{p} _{n+1}a^{n+1-p} b^{p}+\sum_{p=n+1}^{n+1}C ^{p} _{n+1}a^{n+1-p} b^{p}$

(16) $= \sum_{p=0}^{n+1} C ^{p} _{n+1}a^{(n+1-p)} b^{p}$

(17) Donc ∀ n ∈ IΝ* $(a+b)^{n+1} = \sum_{p=0}^{n+1} C ^{p} _{n+1}a^{(n+1-p)} b^{p}$

Pour des suggestions, des questions sur les parties non comprises ou d’autres démonstrations plus détaillées veillez les écrire dans le commentaire au dessous de cette page!!

Bon courage!!

12 commentaires sur “Forum aux Questions pour les élèves et étudiants”

Forum aux Questions pour les élèves et étudiants | Walanta décembre 18, 2014 à 10:11 Réponse

[…] avons creé ce Forum pour les élèves et étudiants qui auront éventuellement du mal à resoudre certains des leurs […]
Mohamed Diallo décembre 22, 2014 à 12:40 Réponse

je voulais savoir comment s’inscrire a Campus France Mali?
- walantanews décembre 28, 2014 à 10:33 Réponse
  
  Bonjour M. Diallo,
  Rendez vous sur la page de Procédure / Inscription Campus France à l’adresse suivante http://www.mali.campusfrance.org/rubrique/procedurecampusfrance
Diarra Birama décembre 22, 2014 à 3:19 Réponse

pourquoi vous ne publiez pas les cours de biologie?
- walantanews décembre 28, 2014 à 11:35 Réponse
  
  Les cours de biologie se trouvent sur la page walanta de cours de médecine à l’adresse suivante https://walanta.com/enseignement/cours/medecine
Forum aux Questions pour les élèves et étudiants | Walanta décembre 28, 2014 à 11:27 Réponse

[…] Découvrez la démonstration de la formule du Binôme de Newton sur le Forum aux Questions pour les élèves et étudiants. […]
mcicheick décembre 29, 2014 à 7:54 Réponse

Il n’y a pas d’autre démonstration que par récurrence ?
- walantanews janvier 1, 2015 à 1:27 Réponse
  
  Peut être oui, au fait vous avez pleinement les droits de postuler dans le commentaire votre méthode de démonstration ou bien le lien qui dirige les visiteurs vers celle-ci.
  Bon courage!!!
Aboubacrine Bossou Diallo décembre 31, 2014 à 6:57 Réponse

Bonsoir Walanta; je suis etudiant a la FST ,sur quel site on peut avoir des cours et exercices en mecanique quantique, en electronique et surtout en instrumentation et mesure niveau licence physique appliquee.Je vous remercie.
- walantanews décembre 31, 2014 à 8:57 Réponse
  
  Bonsoir, Aviez-vous deja regarder les liens vers les cours de physique sur walanta.com?
  https://walanta.com/enseignement/cours/physique/
  
  Est ce que ces liens répondent à vos attentes?
  Bon courage dans vos études!
Birama Diarra janvier 26, 2015 à 10:00 Réponse

bon walanta je etudiant a la FST,je veux que vous publiez les cours d’enzymologie,metabolisme biochimique,microbiologie,biostatistique,la botanique,bioenergie,virologie et leurs exercices ou TD.
Birama Diarra janvier 26, 2015 à 10:10 Réponse

Publiez Aussi Les Cours De Droit,phylosophie,anglais,geologie,biologie Moleculaire,cellulaire Et Français,ça Nous Fera Du Bien Nous Les Etudiant.

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